Ευκλείδεια 幾何の公理系
1.21. 任意の 1 點から他の任意の點へ直線をひくことができる
1.22. 有限の直線は、これをいくらでも延長することができる
1.23. 任意の點を中心として、任意の半徑で圓をえがくことができる
1.24. すべての直角は等しい
1.25. 1 直線が他の 2 直線と交はってできる 2 組の同傍內角のうち、一方の和が 2 直角より小ならば、この 2 直線を充分延長すれば、この 2 直角は 2 直角より小さな同傍內角のある側で交はる
同値な命題
Playfair の公理
平面上に直線と、直線上に存在しない點が與へられたとき、點を通り直線に平行な直線は與へられた平面上に高々 1 本しか引くことができない
三角形の公理
全ての三角形の內角の和は 180° である
Saccheri の四角形
Saccheri の四角形の頂点の角度は 90° である
Wallis の公理
三角形の面積には上限がない
與へられた有限直線上に、與へられた三角形に相似する三角形を常に作ることができる
Πρόκλος の公理
ある直線が 2 本の平行線のうち片方と交はり、直線が 2 本の平行線と同一の平面上にあるとき、平行線のもう片方とも交はる
絶對幾何學
Hilbert の公理系
結合の公理
平面公理
Ⅰ1. 2 點 A, B に對し、これらの 2 點のおのおのと結合する少なくとも 1 つの直線がつねに存在する
Ⅰ2. 2 點 A, B に對し、これらの 2 點のおのおのと結合する直線は 1 つより多くは存在しない
Ⅰ3. 1 直線上にはつねに少なくとも 2 點が存在する。1 直線上にない少なくとも 3 點が存在する
立體公理
Ⅰ4. 同一直線上にない任意の 3 點 A, B, C に對しその各點と結合する 1 平面 α が存在する。任意の平面に對しこれと結合する 1 點がつねに存在する
Ⅰ5. 1 直線 a の上にある 2 點 A, B が平面 α 上にあれば、a のすべての點は平面 α の上にある
Ⅰ6.
Ⅰ7.
Ⅰ8.
順序の公理
直線公理
Ⅱ1.
Ⅱ2.
平面公理
Ⅱ3.
Ⅱ4.
合同の公理
Ⅲ1.
Ⅲ2.
Ⅲ3.
Ⅲ4.
Ⅲ5.
平行の公理
Ⅳ1.
連續の公理
直線公理
Ⅴ1. 計測の公理。アルキメデスの公理
Ⅴ2. 1 次元の完全性公理
Tarski の公理系
一階の完全な理論
點の集合を考へる
點の 3 項關係である媒介性$ Bxyzに關する公理
同一性$ Bxyx\to x=y
Pasch の公理$ (Bxuz\land Byuz)\to\exist a(Buay\land Bvax)
連續性の公理 schema$ \exist a\forall x,y((\phi(x)\land\psi(y))\to Baxy)\to\exist b\forall x,y((\phi(x)\land\psi(y))\to Bxby)
低次元の囘避$ \exist a,b,c(\neg Babc\land\neg Bbca\land\neg Bcab)
點の 4 項關係である合同$ wx\equiv yzに關する公理
反射律$ xy\equiv yx
同一性$ xy\equiv zz\to x=y
推移律$ (xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\to zu\equiv vw
高次元の囘避$ (xu\equiv xv)\land(yu\equiv yv)\land(zu\equiv zv)\land((u\ne v)\to(Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy))
平行線公準$ ((Bxyw\land xy\equiv yw)\land(Bxuv\land xu\equiv uv)\land(Byuz\land yu\equiv uz))\to yz\equiv vw
言ひ換へ
$ Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy\lor\exist a(xa\equiv ya\land xa\equiv za)
$ (Bxuv\land Byuz\land x\ne u)\to\exist a,b(Bxya\land Bxzb\land Bavb)
5 segment$ (x\ne y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu\equiv y'u')\to zu\equiv z'u'
segment 構築$ \exist z(Bxyz\land yz\equiv ab)
Birkhoff の公理系
2 點閒の長さを、直線を實數に對應させて考へる
2 直線閒の角度を、1 點を通る直線の集合を實數$ \lbrack 0,2\pi)に對應させて考へる
2 三角形閒の相似を、長さの閒に比例定數が存在する事に對應させて考へる