Ευκλείδεια 幾何の公理系
1.21. 任意の 1 點から他の任意の點へ直線をひくことができる
1.22. 有限の直線は、これをいくらでも延長することができる
1.23. 任意の點を中心として、任意の半徑で圓をえがくことができる
1.24. すべての直角は等しい
1.25. 1 直線が他の 2 直線と交はってできる 2 組の同傍內角のうち、一方の和が 2 直角より小ならば、この 2 直線を充分延長すれば、この 2 直角は 2 直角より小さな同傍內角のある側で交はる
同値な命題
Playfair の公理
平面上に直線と、直線上に存在しない點が與へられたとき、點を通り直線に平行な直線は與へられた平面上に高々 1 本しか引くことができない
三角形の公理
全ての三角形の內角の和は 180° である
Saccheri の四角形
Saccheri の四角形の頂点の角度は 90° である
Wallis の公理
三角形の面積には上限がない
與へられた有限直線上に、與へられた三角形に相似する三角形を常に作ることができる
Πρόκλος の公理
ある直線が 2 本の平行線のうち片方と交はり、直線が 2 本の平行線と同一の平面上にあるとき、平行線のもう片方とも交はる
絶對幾何學
Hilbert の公理系
結合の公理
平面公理
Ⅰ1. 2 點$ A,Bに對し、これらの 2 點のおのおのと結合する少なくとも 1 つの直線がつねに存在する
Ⅰ2. 2 點$ A,Bに對し、これらの 2 點のおのおのと結合する直線は 1 つより多くは存在しない
Ⅰ3. 1 直線上にはつねに少なくとも 2 點が存在する。1 直線上にない少なくとも 3 點が存在する
立體公理
Ⅰ4. 同一直線上にない任意の 3 點$ A,B,Cに對しその各點と結合する 1 平面$ \alphaが存在する。任意の平面に對しこれと結合する 1 點がつねに存在する
Ⅰ5. 1 直線$ aの上にある 2 點$ A,Bが平面$ \alpha上にあれば、$ aのすべての點は平面$ \alphaの上にある
Ⅰ6. 1 直線$ aの上にある 2 點$ A,Bが平面$ \alpha上にあれば、$ aの上のすべての點は平面$ \alphaの上にある
Ⅰ7. 2 平面$ \alpha,\betaが 1 點$ Aを共有すれば、これらの平面はさらに少なくとも 1 點を共有する
Ⅰ8. 同一平面上にない少なくとも 4 點が存在する
順序の公理
直線公理
Ⅱ1. 點$ Bが點$ Aと點$ Cとの閒にあれば、$ A,B,Cは 1 直線上の相異なる 3 點であって、かつ$ Bまたは$ Cと$ Aとの閒にある
Ⅱ2. 2 點$ Aと$ Cとに對し直線$ AC上につねに少なくとも 1 點$ Bが存在して$ Cが$ Aと$ Bとの閒にある
Ⅱ3. 1 直線上にある任意の 3 點のうちで、他の 2 點の閒にありうるものは 1 點より多くはない
平面公理
Ⅱ4. $ A,B,Cを 1 直線上にない 3 點、$ aを平面$ ABC上にあって$ A,B,Cのいずれをも通らない直線とせよ。直線$ aが線分$ ABの點を通ればこれはまた線分$ ACもしくは線分$ BCの點を通る
合同の公理
Ⅲ1.$ A,Bを 1 直線$ a上の 2 點とし、さらに$ A'を同じ直線または他の直線$ a'上の點とするとき、直線$ a'の$ A'に關して與へられた側につねに少なくとも 1 點$ B'を見出だし、線分$ ABが線分$ A'B'に合同または相等しくなるやうにすることができる、記號で$ AB\equiv A'B'
Ⅲ2. 線分$ A'B'および線分$ A''B''が同一の線分$ ABに合同ならば、線分$ Aに'B'はまた線分$ A''B''に合同である ; 換言すれば、2 つの線分が第 3 の線分に合同ならば、これらの線分はたがひに合同である
Ⅲ3.$ ABおよび$ BCを直線$ a上の共通點のない 2 線分、さらに$ A'B'および$ B'C'を同じ直線または他の直線$ a'上にあって同樣に共通點のない線分とせよ。しかるときは$ AB\equiv A'B'かつ$ BC\equiv B'C'ならば、つねにまた$ AC\equiv A'C'である
Ⅲ4. 平面$ \alpha內に角$ \angle(h,k)が與へられ、平面$ \alpha'內に 1 直線$ a'および$ a'に關する$ \alpha'の 1 つの側が指定されてゐるとする。$ h'を點$ O'から出る直線$ a'に屬する半直線とせよ ; しかるときは角$ \angle(h,k)が角$ \angle(h',k')に合同あるいは相等となり、かつ同時に角$ \angle(h',k')の內點がすべて$ a'の與へられた側にあるごとき半直線$ k'が平面$ \alpha'の中にただ 1 つに限って存在する。記號で$ \angle(h,k)\equiv\angle(h',k')。任意の角はそれ自身に合同である、すなはちつねに$ \angle(h,k)\equiv\angle(h',k')
Ⅲ5. 2 つの三角形$ ABCおよび$ A'B'C'において合同關係$ AB\equiv A'B',AC\equiv A'C',\angle BAC\equiv\angle B'A'C'が成り立てば、またつねに合同關係$ \angle ABC\equiv\angle A'B'C'が成り立つ
平行の公理
Ⅳ1.$ aを任意の直線、$ Aを$ a外の 1 點とせよ : しからば$ aと$ Aが定める平面において、$ Aを通り$ aに交はらない直線はたかだた 1 つ存在する
連續の公理
直線公理
Ⅴ1.$ ABおよび$ CDを任意の線分とすれば、直線$ AB上に有限個の點$ A_1,A_2,A_3,\dots,A_nが存在して、線分$ AA_1,A_1A_2,A_2A_3,\dots,A_{n-1}A_nが線分$ CDに合同にして、かつ$ Bが$ Aと$ A_nの閒にあるやうにすることができる
Αρχιμήδεια の公理 (計測の公理)
$ \forall x,y_{\in K,>0}\exist n_{\in\N}(nx>y)
Ⅴ2. 1 直線上にある點は、線狀順序、合同の公理の第 1 番、および Αρχιμήδεια の公理をたもつ限りでは、もはやこれ以上擴大不可能になる點の集まりをなす。すなはちこの點の集まりにさらに a 上に若干個の點を附加することによりてえられる集まりに對して上述の諸公理を全部成立せしむることはできない
1 次元の完全性公理
Tarski の公理系
一階の完全な理論
點の集合を考へる
點の 3 項關係である媒介性$ Bxyzに關する公理
同一性$ Bxyx\to x=y
Pasch の公理$ (Bxuz\land Byuz)\to\exist a(Buay\land Bvax)
連續性の公理 schema$ \exist a\forall x,y((\phi(x)\land\psi(y))\to Baxy)\to\exist b\forall x,y((\phi(x)\land\psi(y))\to Bxby)
點の 4 項關係である合同$ wx\equiv yzに關する公理
同一性$ xy\equiv zz\to x=y
推移律$ (xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\to zu\equiv vw 低次元の囘避$ \exist a,b,c(\neg Babc\land\neg Bbca\land\neg Bcab)
高次元の囘避$ (xu\equiv xv)\land(yu\equiv yv)\land(zu\equiv zv)\land((u\ne v)\to(Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy))
平行線公準$ ((Bxyw\land xy\equiv yw)\land(Bxuv\land xu\equiv uv)\land(Byuz\land yu\equiv uz))\to yz\equiv vw 言ひ換へ
$ Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy\lor\exist a(xa\equiv ya\land xa\equiv za)
$ (Bxuv\land Byuz\land x\ne u)\to\exist a,b(Bxya\land Bxzb\land Bavb)
5 segment$ (x\ne y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu\equiv y'u')\to zu\equiv z'u'
segment 構築$ \exist z(Bxyz\land yz\equiv ab)
Birkhoff の公理系
2 點閒の長さを、直線を實數に對應させて考へる
2 直線閒の角度を、1 點を通る直線の集合を實數$ \lbrack 0,2\pi)に對應させて考へる
2 三角形閒の相似を、長さの閒に比例定數が存在する事に對應させて考へる